2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学压轴卷2(新课标全国1卷)

2016 年普通高等学校招生全国统一考试·压轴卷二 文科数学(新课标全国Ⅰ卷) 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。

(1)已知集合 M ? ?0,1,2? ,集合 N ? y y ? x 2 , x ? M ,则 M ∪ N = (A) ?0 ? (2)已知复数 z ? (B) ?0,1? (C) ?0,1,2? (D) ?0,1,2,4? ? ? 3?i ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 所对应的点在 1? i (A)第一象限 (3)要得到函数 y ? sin (A)向左平移 (B)向左平移 (C)向右平移 (D)向右平移 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 ? ? 4 1 x 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象 2 个单位长度,再将各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变 个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的 1 ,纵坐标不变 4 ? 4 4 4 个单位长度,再将各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变 个单位长度,再将各点的横坐标缩短到原来的 1 ,纵坐标不变 4 ? (4)下列命题中假命题的是 (A) ?x0 ? R, ln x0<0 (C) ?x0 ? (0,??) , x0<sin x0 (B) ?x ? (??,0) , e x>x ? 1 (D) ?x>0 , 5 x >3 x (5)已知函数 y ? f ( x ? 1) ? x 2 是定义在 R 上的奇函数,若 f (?2) ? 1 ,则 f (0) ? (A) ? 3 (B) ? 2 (C) ? 1 (D)0 第 1页(共 6页) 2016 年普通高考文科数学压轴卷二

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? (6)在如图所示的程序框图中(其中 hi ?1 ?x ? 表示函数 hi ?1 ? x ? 的导函数) , 当输入 h0 ?x ? ? xe x 时,输出的 hi ?x ? 的结果是 ( x ? 2016)e x ,则程序框图中 的判断框内应填入 (A) i ? 2014 ? (C) i ? 2016 ? (7)设椭圆 (B) i ? 2015 ? (D) i ? 2017 ? 1 x2 y2 ? 2 ? 1?a>b>0 ? 的离心率 e ? ,右焦点 F ?c,0? ,方程 2 2 a b ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个根分别为 x1 , x2 ,则点 ?x1 , x2 ? 在 (A)圆 x 2 ? y 2 ? 2 上 (C)圆 x 2 ? y 2 ? 2 外 (B)圆 x 2 ? y 2 ? 2 内 (D)以上三种情况都有可能 ? x ? y ? 1 ? 0, 2 ? (8)设实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x 2 ? ? y ? 2 ? 的取值范围是 ? x ? ?1, ? ?1 ? (A) ? ,17 ? ?2 ? (B) ?1,17 ? ? (C) ? ?1, 17 ? ? 2 ? , 17 ? (D) ? ? 2 ? (9)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某个 四面体的三视图,则该四面体的表面积为 (A) 2 ? 2 2 ? 6 (C) 8 ? 8 2 ? 4 6 (B) 8 ? 8 2 ? 2 6 (D) ? 2 1 2 2 ? 6 4 VP ? ABC ? (10) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, ? ? 4 3 ?APC ? , ?BPC ? , PA ? AC , PB ? BC , , 4 3 3 且平面 PAC ? 平面 PBC ,则三棱锥 P ? ABC 外接球的体积为 A P B C (A) 4? 3 (B) 8 2? 3 (C) 4? 第 2页(共 6页) (D) 32? 3 2016 年普通高考文科数学压轴卷二

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A (11)如图, △ AOB 为等腰直角三角形, OA ? 1 , OC 为斜边 AB 上的高, 当点 P 为线段 OC 的三等分点(离点 O 较近)时, AP ? OP ? (A) 1 9 C (B) ? 1 9 (C) 1 2 (D) ? 1 2 P O B (12)函数 f ( x) ? ? x 2 ? 3 x ? a, g ( x) ? 2 x ? x 2 ,若 f [ g ( x )] ? 0 对 x ? [0,1] 恒成立,则实数 a 的范围 是 (A) (??, 2] (B) ( ??, e] (C) (??, ln 2] 1 (D) [0, ) 2 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。

第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答。

第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。

二.选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

(13)已知向量 a= ?cos ? , sin ? ? ,b= ?1,?2 ? ,若 a∥b,则代数式 (14) 已知一组正数 x1 , x2 , x3 , x4 的方差 s 2 ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? . 1 2 2 2 2 ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 16) , x3 ? 2 , 则数据 x1 ? 2 , x2 ? 2 , 4 x4 ? 2 的平均数为 . x2 y 2 (15) 双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交于 A , B 两点, 公共弦 AB a b 恰好过它们的公共焦点 F ,则双曲线 C 的离心率为 . (16)已知 △ ABC 中, AB ? 2 AC ? 6 , BC ? 4 , D 为 BC 的中点,则当 AD 最小时, △ ABC 的面积为 . 三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是等比数列, a2 ? 4 , a3 ? 2 是 a2 和 a4 的等差中项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2 log 2 an ? 1 ,求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 Tn . 2016 年普通高考文科数学压轴卷二 第 3页(共 6页)

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(18) (本小题满分 12 分) 第 31 届夏季奥林匹克运动会将于 2016 年 8 月 5 日—21 日在巴西里约热内卢举行.下表是 近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据(单位:枚). 第 30 届伦敦 中国 俄罗斯 38 24 第 29 届 第 28 届雅典 第 27 届悉尼 第 26 届亚特兰大 51 23 32 27 28 32 16 26 (Ⅰ)根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图,并通过 茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度(不要求计算出具体数值,给出结论 即可) ; 中国 1 2 3 4 5 俄罗斯 (Ⅱ)下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和 y (从第 26 届算起,不包括之前 已获得的金牌数)随时间 x 变化的数据: 时间 x(届) y 枚) 金牌数之和 ( 作出散点图如下: 金牌数之和/枚 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 26 16 27 44 28 76 29 127 30 165 26 27 28 29 30 时间/届 (i)由图可以看出,金牌数之和 y 与时间 x 之间存在线性相关关系,请求出 y 关于 x 的线 性回归方程; 2016 年普通高考文科数学压轴卷二 第 4页(共 6页)

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(ii)利用(i)中的回归方程,预测今年中国代表团获得的金牌数. 参考数据: x ? 28 , y ? 85.6 , ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? 381 , ? ( xi ? x) 2 ? 10 i ?1 i ?1 n n 附:对于一组数据 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,……, ( xn , yn ) ,其回归直线 y ? bx ? a 的斜率和截距 ?= 的最小二乘估计分别为: b ? ( x ? x)( y ? y) i ?1 i i n ? ( x ? x) i ?1 i n ? = y ? bx ? ,a 2 (19) (本小题满分 12 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是菱形, AC ? BD ? O , A1O ? 底面 ABCD , AB ? AA1 ? 2 . (Ⅰ)证明: BD ? 平面 A1CO ; (Ⅱ)若 ?BAD ? 60? ,求点 C 到平面 OBB1 的距离. A1 D1 B1 C1 D O A B C (20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A ,左焦点为 F1 ? ? 2, 0 ? ,点 B 2,2 在椭圆 C 上,直线 y ? kx ? k ? 0 ? 与椭圆 C 交于 E , F 两点,直线 AE , AF 分别与 y 轴交 ? ? 于点 M , N . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 P ,使得无论非零实数 k 怎样变化,总有 ?MPN 为直角?若存 在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 2016 年普通高考文科数学压轴卷二 第 5页(共 6页)

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(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? me x ? ln x ? 1 . (Ⅰ)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1,f ?1? ? 处的切线方程; (Ⅱ)当 m ? 1 时,证明: f ? x ? ? 1 . 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。

做答时 请写清题号。

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, PA 为半径等于 2 的圆 O 的切线, A 为 切点, PO 交圆 O 于 B, C 两点, PA ? 5 , ?BAC 的角 平分线与 BC 交于点 D . (Ⅰ)求证 AB ? PC ? PA ? AC ; (Ⅱ)求 CD 的值. BD A C O D B P (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? 2 ? 2t 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,以原点 O 为极 y ? ? 1 ? 2 t ? 点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? ) 4 (Ⅰ)判断曲线 C1 与曲线 C2 的位置关系; (Ⅱ)设点 M ( x, y ) 为曲线 C2 上任意一点,求 2 x ? y 的最大值. ? (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设对于任意实数 x ,不等式 | x ? 7 | ? | x ? 1|? m 恒成立. (Ⅰ)求 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m 取最大值时,解关于 x 的不等式: | x ? 3 | ?2 x ? 2m ? 12 . 2016 年普通高考文科数学压轴卷二 第 6页(共 6页)

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